Interview mit Eberhard Knobloch über Eulers Mathematik, Philosophie und Theologie

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Prof. Dr. Eberhard Knobloch von der TU BerlinVom 11.6. bis zum 15.6. 2007 fand an der Universität Dortmund im Fachbereich Physik die Eulerwoche zum Gedenken an den 300. Geburtstag des Mathematikers, Physikers und Philosophen Leonard Euler statt. Zum Auftakt hielt am Dienstag im physikalischen Kolloquium der Wissenschaftshistoriker Eberhard Knobloch von der TU Berlin einen Vortrag über einige Aspekte von Eulers Werk. Danach führte Patrick Grete von Solon-line mit Prof. Dr. Knobloch das folgende Interview über Eulers Mathematik, Philosophie, sowie auch über dessen Gottesverständnis und Theologie. Ferner wird auf den mathematischen Umgang mit dem Unendlichen sowohl bei Nikolaus von Kues als auch bei Leibniz und Euler eingegangen.


 

Solon-line: Prof. Knobloch ; zuerst möchte ich Ihnen für Ihre Zeit für den Vortrag und dieses Interview danken. Im Vortrag erwähnten Sie, dass die bisherige Opera Omnia Eulers über 20 Bände mit jeweils etwa 600 Seiten umfasst. Da fällt es natürlich schwer „Hauptarbeiten“ auszuwählen. Aber natürlich weiß man, mit welchen Arbeiten Euler damals berühmt wurde. Welche waren das?

Knobloch: Zuerst einmal vielen Dank für die Einladung. Die erste große Arbeit von Euler beinhaltet die Summierung der reziproken Quadratzahlen (d.h. 1+1/4+1/9+ usw. ad infinitum). Unendliche Summen, auch Reihen genannt, waren damals ein großes Problem in der Mathematik. Während die Frage nach der Existenz dieser Summe, d.h. dass ihr Wert endlich ist, schon geklärt war, konnte ihr genauer Wert nicht ermittelt werden und das obwohl sich die größten Mathematiker seiner Zeit, nämlich Leibniz und die Bernoullis damit beschäftigten. Man kann sich gut vorstellen, wie groß der Paukenschlag war, als Euler zeigen konnte, dass ihr Wert pi²/6 beträgt. In der Folgezeit konnten dann alle reziproken Potenzen mit geraden Exponenten summiert werden, da sie sich auf diesen ersten Wert zurückführen ließen. Interessanterweise ist es bis heute noch ein offenes Problem, welchen Wert die ungeraden Exponenten (also z.B. 1+1/8+1/27+ usw.) liefern. Auch Euler hat sich an diesem Problem mehrfach versucht, aber er hat es nie lösen können.

Das nächste große Werk betrifft die hydrodynamischen Grundgleichungen, die er 1757 veröffentlichte. Sie werden ja noch zwei Vorträge zu diesem Thema hören. In diesen Arbeiten gab Euler zum ersten Mal eine konsistente Definition der Größe Druck. Diese Arbeit ist auch heute noch aktuell; heutige Dozenten könnten mit Eulers Buch eine Vorlesung halten.

Die nächste Arbeit, die hier zu nennen wäre veröffentlichte er 1763, worin er eine erste partikuläre Lösung des Drei-Körper-Problems angab. Dieses Problem war seit Newtons Principia bekannt und ungelöst. Es war damals schon ein großer Fortschritt überhaupt eine Teillösung zu finden. Heute weiß man, dass dieses Problem nicht in geschlossener Weise lösbar ist. Ansonsten veröffentlichte er auch noch Lösungsmethoden für gewöhnliche Differentialgleichungen.


Solon-line
: Sie haben ja schon gesagt, dass Eulers Arbeit zur Hydrodynamik auch heute noch aktuell ist. Auf welche anderen Arbeiten von Euler trifft dies auch zu?

Knobloch: Schlagen Sie dazu einfach ein aktuelles Lehrbuch der höheren Mathematik auf, oder ein beliebiges Nachschlagewerk. Dort werden Sie unter „Euler“ eine längere Liste von Sätzen, Methoden und Konstanten finden, die auf ihn zurückgehen. Sicherlich ist hier die Basis des natürlichen Logarithmus, e, zu nennen. Genauso wie die Euler-Formel der komplexen Exponential-Funktion, welche die trigonometrischen Funktionen Sinus und Kosinus mit der Exponential-Funktion verbindet. Diese Liste ließe sich noch lange fortsetzen.

Solon-line: Trotz dieser vielen Erfolge, die zweifelsohne den Titel „einer der größten Mathematiker aller Zeiten“ rechtfertigen, gibt es nicht nur Glanzpunkte, sondern er hat eben auch Fehler gemacht. Könnten Sie diesen Punkt ausführen?

Knobloch: Es ist ja völlig verständlich, dass bei der Fülle an Arbeiten auch fehlerhafte Arbeiten dabei sind. In unserem Gespräch vor meinem Vortrag haben Sie ja die von Carl F. Gauss genannte Arbeit Eulers zum Fundamentalsatz der Algebra genannt. Dort hat Euler einen Zirkelschluss begangen. Hier liegt also ein methodischer Fehler vor, wobei der Satz an sich korrekt war. Er hat aber auch an einigen Stellen schlicht falsche Ergebnisse geliefert. Im Jahre 1726 veröffentlichte Euler die Arbeit zur Konstruktion isochroner Linien in einem widerstehenden Medium, die sie in seinen Opera Omnia II,6,1-3 finden. Dort hat er schlicht die falsche Differentialgleichung gelöst. Oder nehmen wir den Fall, wo Euler die Bewegung eines Teilchens berechnet, dass unter dem Einfluss der Schwerkraft durch ein Loch durch die Erde fällt (De sono, 1727, Opera Omnia III,1,181-196).

Solon-line: Diese Aufgabe wird heute im ersten Semester Physik standardmäßig gelöst. Was hat Euler an dieser Stelle denn falsch gemacht?

Knobloch: Euler hat gedacht, dass die Geschwindigkeit des Teilchens bis zum Erdmittelpunkt unendliche Geschwindigkeit erreicht und dann beim Mittelpunkt seine Richtung umdreht, um dann immer langsamer werdend die Oberfläche erreicht. Das ist natürlich falsch, da die Masse, die das Teilchen anzieht immer geringer wird und damit seine Geschwindigkeit nicht unendlich wird. Das ist der harmonische Oszillator.

Solon-line: Gibt es noch einen anderen Fall, vielleicht aus der Mathematik, wo sich Euler verrechnete?

Knobloch: Da könnte man die Summierung der Quadratzahlen nennen. Die Summe über alle Quadratzahlen ist natürlich erstens unendlich und zweitens positiv. Trotzdem kommt Euler hier zum Schluss, dass die Summe -1 ist, also sowohl negativ, als eben nicht unendlich. Dies finden Sie in seiner Calculus Differentialis von 1755, Opera Omnia I,10,78.

Solon-line: Als Sie diese Punkte im Vortrag nannten, wandten Sie sich gegen eine „Heroisierung“ Eulers. Was meinten Sie damit?

Knobloch: Die mathematischen Fachwissenschaftler neigen zur Heroisierung ihrer größten Fachgenossen. Der Wissenschaftshistoriker darf eine solche Geschichtsklitterung natürlich nicht mitmachen.

Solon-line: In Ihrem Vortrag gingen Sie auf Eulers Begriff des „Unendlichen“ ein und grenzten diesen von seinem Vorgänger Leibniz ab. Könnten Sie dies genauer erläutern?

Knobloch: Leibniz ist der Erfinder der Infinitesimalrechnung, also der Rechenkunst mit unendlich kleinen Größen. In seiner Schrift De quadratura arithmetica circuli ellipsos et hyperbolae (1993 kritisch und kommentiert von mir herausgegeben in den Abhandlungen der Akademie der Wissenschaften in Göttingen, Mathematik-Physik, Klasse 3 Folge 143) definiert Leibniz das Unendliche als größer bzw. kleiner als jede zugeordnete Größe. Das ist im Grunde der moderne Grenzwertprozess, den wir heute mit der Epsilon-Delta-Schreibweise beschreiben. Heute nennen wir ja eine Folge konvergent, wenn man zu jeder gegeben Größe Epsilon ein Folgeglied finden kann, ab dem die Differenzen zweier benachbarter Folgenglieder kleiner als dieses Epsilon ist. Die Differenz wird kleiner als jede zugeordnete Größe; also unendlich klein.

Solon-line: Sie haben die sprachliche Diffizilität an dieser Stelle erwähnt. Können Sie dies hier erläutern?

Knobloch: Nun es ist von entscheidender Wichtigkeit, ob man schreibt, dass etwas größer als jede zugeordnete oder jede zuordbare Größe ist. Das muss man genau auseinander halten. Das Erste führt zum potentiell Unendlichen, das Zweite erzwingt den Gebrauch des aktual Unendlichen. Leibniz benutzt in seinen mathematischen Arbeiten flächendeckend das potentiell Unendliche. Das war auch der Grund, weshalb seine Methode so erfolgreich war, was man auch daran sieht, dass in der modernen Analysis (wie man diese Rechenmethode heute nennt) auch heute noch dieser damals so von Leibniz definierte Grenzwertprozess verwendet wird.

Solon-line: Welchen Begriff von Unendlich hatte Euler demgegenüber?

Knobloch: Er verwendete das Unendliche als größer als jede zuordbare Größe. Das erzwingt das aktual Unendliche.

Solon-line: Dies wird aber problematisch, wenn man zum unendlich Kleinen übergeht.

Knobloch: Richtig! Denn wenn man das unendlich Kleine als kleiner als jede zuordbare Größe definiert, dann erzwingt dies, dass diese Größe Null ist. Euler rechnet hier tatsächlich mit Nullen.

Solon-line: Aber was kommt denn heraus, wenn man durch Null teilt oder mit Null multipliziert?

Knobloch: Damit kann man natürlich keine sinnvollen Rechnungen anstellen. Euler ist hier nicht konsistent in der Benutzung dieses Begriffs. Er rechnet nach der Methode, wie Leibniz sie einführte.

Solon-line: Sie haben in unserem Gespräch schon erwähnt, dass einige Kollegen von Ihnen an dieser Stelle bei Euler noch etwas anderes dahinter vermuten. Was war das?

Knobloch: In der Mathematik kam durch die Arbeiten von Abraham Robinson im Jahre 1960 die so genannte „Nicht-Standard-Analysis “ auf. Man hat es damit endlich geschafft, das unendlich Kleine und unendlich Große konsistent zu definieren. Man benötigt vom axiomatischen Standpunkt jedoch das „Auswahlaxiom „, welches ein wirklich neues Axiom in der Mathematik ist und nicht aus anderen hervorgeht. Einige meiner Kollegen sehen in Eulers Definition des unendlich Kleinen (eigentlich der Null, wie ich oben schon ausführte) einen Vorgriff auf diesen Zweig der Mathematik.

Solon-line: Was halten Sie von dieser Schlussfolgerung einiger Ihrer Kollegen?

Knobloch: Ich halte diese Schlussfolgerung für nicht ausreichend begründet. Gerade wenn man sich anschaut, wie schwierig es war in der Nicht-Standard-Analysis die Differentiale zu definieren. Die gesamte axiomatische Struktur war bei Euler noch gar nicht vorhanden; geschweige denn das Auswahlaxiom. Von all diesem findet sich noch nichts bei Euler, bis eben auf die Definition als kleiner als jede zuordbare Größe.

Solon-line: Bezug nehmend auf Leibniz möchte ich noch näher auf seinen Unendlichkeitsbegriff eingehen. Leibniz war ja gerade in der Philosophie von Nikolaus von Kues beeinflusst, der ja sehr das aktual Unendliche vertrat, z.B. in seiner Belehrten Unwissenheit. Auch ist mir ein Brief von Leibniz an Varignon bekannt, in welchem Leibniz diese Differentiale als Größen definiert, die nicht Null an sich sind, sondern nur verglichen mit jeder endlichen Größe. Er definiert dort „unendlich“ mit „unvergleichlich“. Ist das nicht das aktual Unendliche, auch bei Leibniz?

Knobloch: Die Beeinflussung Leibniz‘ durch von Kues im Bezug auf den mathematischen Umgang mit dem Unendlichen können Sie in meinem Vortrag auf dem 19. Philosophenkongress nachlesen, der im Buch von Hogrebe Grenzen und Grenzüberschreitungen zu finden ist. Lassen Sie mich diesen Punkt hier ausführen: Von Kues hat Gott als das Unendliche in absoluter Weise definiert, in dem alle Gegensätze und Vergleichsmöglichkeiten zusammenfallen. Das ist per Definition außerhalb der Mathematik, die die Wissenschaft von „Größen“ ist, welche eben verglichen werden können. Von Kues zeigt in seiner belehrten Unwissenheit einen Weg zu Gott auf, indem er zu den mathematischen Figuren die Unendlichkeit hinzufügt, um dann die theologischen Figuren zu erfassen. Dann soll man in geistiger Schau das „einigdreie Unendlich“ erblicken. Die Mathematik ist beim Kusaner ein Hilfsmittel zum Gottesdienst. Innerhalb seiner Mathematik bleibt er auch im potentiell Unendlichem. Er beschreibt aber, was jenseits liegen würde, also welche Eigenschaften diese aktual Unendlichen Größen hätten, wenn man sie erreichte: Eben der Zusammenfall der Gegensätze. Von Kues spricht aber, so wie ich auch, im Irrealis! Dies zu erreichen liegt jenseits der Fassbarkeit des Verstandes.

Solon-line: Wie hat Leibniz dies erweitert?

Knobloch: Leibniz hat „unendlich groß“ als „größer als jede zugeordnete Größe“ definiert. Es handelt sich also noch um Größen. Das ist das potentiell Unendliche. Damit machte er Nicht-Größen zu Größen und konnte sie damit einem Kalkül zugänglich machen. Zurück zu dem von Ihnen genannten Brief. Man müsste sich den im Original anschauen, da es schon eine diffizile Angelegenheit ist, zwischen „zugeordneten“ oder „zuordbaren“ Größen zu unterscheiden. Aber wenn Leibniz dort von Größen spricht, die kleiner als jede gegebene endliche Größe sind; dann hätten wir auch hier das potentiell Unendliche vor uns. Auf der anderen Seite muss man aber zwischen der Definition in einer mathematischen Publikation und den Erklärungen in einem Brief an einen Freund unterscheiden. Sicher ist, dass in allen weiteren mathematischen Publikationen Leibniz die Definition des potentiell Unendlichen verwendete. Für die Theologie von Leibniz trifft dies sicher nicht zu. Gott ist für Leibniz nicht nur „größer“ als alles was ist, sondern was sein kann. Hier finden wir bei Leibniz einen Unendlichkeitsbegriff, der dem aktual Unendlichem gleich kommt. Dennoch muss man seine Arbeiten in der Theologie von seinen Arbeiten in der Mathematik trennen. Dies trifft im Übrigen auch auf den Kusaner zu, wie ich oben ausgeführt habe.


Solon-line
: Kommen wir auf einen anderen Bereich zu sprechen: die Philosophie. Es ist bekannt, dass Euler starken Einfluss auf den vorkritischen Kant ausübte. Kant wollte in seinen ersten Schriften Eulers Werk in der Philosophie ausbauen. Wie stand Euler zu metaphysischen Annahmen, wie etwa dem „absoluten Raum“ oder der „absoluten Zeit“, wie wir sie von Newton her kennen?

Knobloch: Eulers Schrift Reflexions sur l’espace et le tems, in der er seine Position darlegt, erschien 1748 (Opera Omnia III, 2, 376-383). Euler vertrat im Wesentlichen Newtons Auffassung vom absoluten Raum und absoluter Zeit. Beide sind für Euler Realitäten, die sowohl in der Außenwelt wie auch in Gedanken existieren. Im Gegensatz zu Leibniz war beides für Euler keine abstrakten Ideen. Das ist vor allem gegen die relationale Auffassung von Raum und Zeit gerichtet, die Leibniz vertrat.

Solon-line: Nahm Euler diesbezüglich z.B. zur Leibniz-Clarke-Debatte Stellung? Was war Eulers Hauptpunkt gegen die relationale Auffassung von Raum und Zeit?

Knobloch: Explizit hat sich Euler zu diesem berühmten Briefwechsel nicht geäußert. In Euler, Opera Omnia III,2 S. XIV finden sich einige Erklärungen der Herausgeber Hopper, Matter und Burckhardt zu Eulers Einwänden: Setzt man Ort = „Beziehung der Anordnung zu anderen Körpern“ in Newtons erstes Gesetz ein, so liefert es falsche Aussagen. Dies zeigt Euler an einem eigenen Beispiel. Fasst man Zeit nur als Folge von Veränderungen auf, ist es nicht möglich zu sagen, was gleiche Zeiten sind. Dies ist zum Beispiel in seinen Briefen an eine deutsche Prinzessin, Brief 92/93 ausgeführt.

Solon-line: Euler wurde von einem direkten Leibniz-Schüler, Johann Bernoulli, ausgebildet. Zudem löste Euler durch die Summation der inversen Quadrate ein Problem, das selbst Leibniz nicht lösen konnte. Wie stand Euler zur philosophischen und theologischen Lehre von Leibniz, wie etwa der Monadenlehre oder seiner Theodizee? Was war Eulers eigene philosophische Position?

Knobloch: Euler hat nie ein eigenes philosophisches System vertreten. In der Philosophie kennt man Euler nur durch seine Ablehnung der Monadenlehre von Leibniz und Wolff, die er nachdrücklich ablehnte. Er machte die Unterscheidung zwischen unausgedehnter, gestaltloser und teilloser Substanz, was für Leibniz die Monade war, und zugeordnetem Körper nicht mit. Stattdessen missverstand er die Monade als ausdehnungsloses Atom, aus dem deshalb kein Körper erzeugt werden kann. Mehrere Streitschriften waren gegen die Monadenlehre gerichtet. Euler lehnte zudem Leibnizens „prästabilierte Harmonie“ ab, da sie ihm zu einer Prädestination des Geschehens im Sinne des Calvinismus zu führen schien, während er als reformierter Protestant den freien Willen der Geister hervor hob. Auch hierzu veröffentlichte er eine Streitschrift. Er entwickelte aus seinem Glauben an einen für den Menschen fürsorglichen Gott eine eigene Theodizee.

Solon-line: Das ist ja interessant! Könnten Sie diesen Punkt genauer ausführen? Wo kann man Eulers Theodizee nachlesen und was war sein Problem mit der Leibniz’schen Auffassung genau?

Knobloch: Euler hat kein Buch geschrieben, wie etwa Leibniz. Euler hat seine Gedanken in seinen Briefen an eine deutsche Prinzessin dargelegt und zwar in Brief 89 und 110-113. Euler macht darin eine sehr strikte Unterscheidung zwischen den Körpern, die den Gesetzen der Mechanik gehorchen und den Geistern, die völlig frei von Gott geschaffen sind. Jede noch so kleine Einschränkung dieser Freiheit konnte er nicht hinnehmen. Deshalb griff er so vehement die Leibniz’sche Position der „prästabilierten Harmonie“ an, die für ihn diese Freiheit einzugrenzen schien. Zudem lehnte er die Leibniz’schen Darlegung in dessen Theodizee, wie das Böse in der Welt mit Gott zusammenhängt ab. Er sah darin eine Art Mitschuld Gottes an dem Bösen in der Welt. Dies hat er in den oben genannten Briefen vehement abgelehnt.

Solon-line: Kommen wir zum Schluss auf Eulers Person selbst zu sprechen. Er war gesegnet mit einer großen Kinderschar, um deren Ausbildung er sich kümmerte. Zudem stand er mit allen großen Denkern seiner Zeit in brieflichen Kontakt. Wie könnte man ihn charakterisieren? Machte ihn sein Genie selbstverliebt oder eher das Gegenteil davon?

Knobloch: Euler war extrem kreativ und sich seines eigenen Wertes bewusst, aber durchaus großzügig gegenüber seinen Berufskollegen. Sein Kollege Lagrange arbeitete zum Beispiel am Drei-Körper-Problem und veröffentlichte eine Lösung, die auch Euler schon veröffentlicht hatte, die Lagrange aber nach eigener Aussage nicht kannte. Das verstimmte Euler nicht. Er wollte nur, dass man seine Arbeit zur Kenntnis nimmt und übersah es, wenn dies von Zeit zu Zeit nicht der Fall war, wie hier bei Lagrange. Einen guten ersten Eindruck von Eulers Charakter erhält man, wenn man den jetzigen Euler-Comic liest, wo er als sehr kinderlieber und zurückhaltender, ja fast schon schüchterner Charakter auftritt

Solon-line: Herr Prof. Knobloch ich möchte mich ganz herzlich für dieses überaus interessante Gespräch und die von Ihnen dafür aufgebrachte Zeit danken!

Knobloch: Gerne geschehen!

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