Wenn das kleine Wörtchen „Wenn“ nicht wäre – Zum Jahr der Mathematik 2008; Teil I

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fract8.jpgIm Jahre 2008 begehen wir hier in Deutschland das Jahr der Mathematik. „Mathematik?“, wundert sich Mancher, „das habe ich früher schon nie verstanden oder gehasst.“ Gleichzeitig brauchen wir hier in Deutschland mehr Ingenieure und Naturwissenschaftler und sind aber ständig mit dem Kürzen von mathematischen Inhalten in der Schule und Studium konfrontiert. Wie kam es zu diesem Wandel, dass mathematische Inhalte, die vor zwei Generationen noch zum regulären Oberstufenstoff gehörten, heute als zu schwierig angesehen werden? „Sind wir dümmer geworden?“, könnte man fragen, aber das ist wohl zu verneinen. „Woran könnte es denn liegen?“, wäre die herausfordernde Folgefrage. Diese Frage beantworten zu wollen, wäre eine maßlose Überschätzung, was so ein Artikel (oder der Autor) leisten kann, aber es können ein paar Aspekte, Gedankensplitter und vielleicht auch Thesen zum Thema Mathematik präsentiert werden, die zum Nach- und Weiterdenken einladen sollen und unser Beitrag zum Jahr der Mathematik sind.

von Patrick Grete


Einleitung

Mathematik besitzt eine fast 4000-jährige Geschichte und so hat sich auch die Auffassung, was Mathematik leisten kann oder sollte, stets verändert. Denken wir etwa an Pythagoras und Platon. Pythagoras hat zum ersten Mal etwas Abstraktes wie „Zahl“ bzw. Platon (s. Timaios-Dialog) die „geometrische Form“ zum grundlegenden Ordnungsprinzip der Welt erhoben, während es vorher häufig Naturerscheinungen wie Blitze, Feuer oder die Sonne waren. Wenn die grundlegenden Bausteine der Welt abstrakte Objekte sind, wenn also „das Buch der Welt in der Sprache der Mathematik geschrieben wurde“, dann muss Jeder, der sich anschickt die Welt zu verstehen, mathematisch gebildet sein. Das wäre eine weltanschauliche Begründung dafür, warum wir eine mathematische Bildung brauchen. Aber abseits dieser Weltanschauung kann man fragen: Was zeichnet die Mathematik vor allen anderen Disziplinen aus, dass man der Mathematik zutraute dieses große Ziel (nämlich die Erklärung der Welt) zu leisten?

Mathematik arbeitet mit exakten Begriffen. Die Dinge, von denen gesprochen wird, sind eindeutig definiert und die Aussagen, die nach allgemeinen Schlussregeln getroffen werden, sind es ebenfalls. Natürlich ist es bis dahin ein langer Weg gewesen; Begriffe wurden (und werden) immer exakter, sind es aber nicht von Anfang an und natürlich sind auch die Schlussregeln nicht irgendwann vom Himmel gefallen, sondern haben sich im Laufe der Zeit gebildet und wurden anerkannt, weil sie leistungsfähig waren und nicht zu Widersprüchen führten. Ein Beispiel, dass sicher noch jeder aus der Schule kennt, ist der Satz des Pythagoras:

Sei ein Dreieck mit einem rechten Winkel vorhanden und heißen die beiden Schenkel an diesem rechten Winkel Katheten und die dritte Seite Hypotenuse, dann ist die Fläche des Quadrates dessen Grundseite die Hypotenuse ist gleich der Summe der Flächen der Quadrate an den beiden Katheten.

Das ist natürlich eine sehr längliche Formulierung und deshalb gibt es in der Mathematik eine eigene Formelsprache, die das Gleiche viel kürzer ausdrücken kann: Habe ein rechtwinkeliges Dreieck die Seiten a,b und c und sei c die längste Seite (Hypotenuse), dann gilt: a²+b²=c².

Um diesen Satz zu beweisen, kann man entweder ein Blatt Papier mit Bleistift, Zirkel und Lineal zur Hand nehmen und die Fläche des Hypotenusenquadrates konstruieren oder man kann sich eines formalen axiomatischen Systemes wie der analytischen Geometrie bedienen und diesen Satz beweisen. Auch wenn die konstruktive Methode „anschaulicher“ ist und man der axiomatischen Methode „Gläubigkeit an Elfenbeinturm-Axiome“ unterstellen kann, so bedienen sich beide Verfahren der gleichen Methodik: Etwas klar Definiertes wird vorausgesetzt und nach gültigen Schlussregeln wird eine Aussage zweifelsfrei bewiesen. „Was setzt denn der Mathematiker mit Papier, Zirkel und Lineal voraus?“, könnte man hier einwerfen. Um das zu beantworten muss man sich etwas mehr Gedanken um das Wort „Voraussetzung“ machen. Wenn man etwas voraussetzt, dann grenzt man den Bereich der Untersuchung ein, nämlich genau darauf wo diese Voraussetzungen zutreffen. Wenn man sich mit Papier, Zirkel und Lineal hinsetzt, dann grenzt man den Bereich seiner Untersuchung ebenfalls ein und zwar auf das, was man mit diesem Werkzeugen erreichen kann. In unserem Beispiel kann man z.B. nicht herausfinden, wie der Satz des Pythagoras auf einer Kugel aussehen würde oder ob er dort überhaupt existiert. Ein ebenes Blatt Papier und eine Kugel haben unterschiedliche Eigenschaften und dies kann man eben an der Geometrie auf ihnen sehen.

Wir haben also hier gesehen, dass die Mathematik mit Wenn-Dann-Aussagen arbeitet. In der Mathematik hat man diese Methodik geradezu perfektioniert, denn wenn die Voraussetzung wahr ist, dann folgt die Aussage mit Gewissheit. Mit dieser Eigenschaft ist auch verständlich, wieso sich die Natur- und Ingenieurwissenschaften der Mathematik bedienen: Man will eindeutige Aussagen treffen können. Es muss vor dem Bau einer Brücke klar sein, ob sie hält und vor dem Start eines Satelliten muss klar sein, ob er sein Ziel erreicht. Andere Bereiche, wie etwa die Lyrik leben ja geradezu davon, dass sie nicht eindeutig bzw. mehrdeutig sind. Dadurch rufen Gedichte ja erst die ästhetische Rührung hervor. Eben weil ein Gedicht zu schaffen keine fatalistische Notwendigkeit aus den Voraussetzungen ist, eben ein kreativer nicht mechanischer Akt, deshalb wertschätzen wir Gedichte.

Diese Ausführungen im Hinterkopf können wir uns nun erneut der Frage zuwenden, warum immer wieder mathematische Inhalte gestrichen werden, etwa indem wir fragen: Mögen wir diese Art von mathematischer Methodik und Herangehensweise? Wenn wir sie mögen; verstehen wir sie? Wenn wir sie ablehnen; aus welchen Gründen tun wir dies? Dies sind provokative und auch plakative Fragen. Dies muss man letztlich alles sehr differenziert untersuchen, aber jede Untersuchung fängt an der Oberfläche an und dieser Aufsatz soll ja zum Weiterdenken einladen und erhebt auch nicht den Anspruch einer vollständigen Untersuchung. Meine Antwort auf die obige Frage ist salomonisch: Ja und Nein.

Ablehnung der Methodik

Fangen wir mit dem Nein-Teil der Antwort an, also wieso man den Eindruck haben kann, dass wir die mathematische Methode nicht mögen. Dies möchte ich an dem Phänomen der „Chaosforschung“ ausführen, also daran, dass das neue Teilgebiet der numerischen Untersuchung von nicht-linearen dynamischen Systemen in den 80er Jahren des letzten Jahrhunderts plötzlich so populär wurde. Ausgelöst wurde diese Popularisierung durch ein Artikel von E. N. Lorenz knapp zwei Jahrzehnte vorher, worin er ein vereinfachtes Modell für das Wetter erdachte, das er mit Rechnern numerisch löste und fand, dass kleinste Änderungen in den Anfangswerten große Änderungen in den Endwerten hervor rief [1]. Dies ist auch der Grund, weshalb wir keine Wetterberichte für den nächsten Monat erstellen können: Wir kennen die Werte heute nicht genau genug (Temperatur, Druck, Wind in jedem Kubikmillimeter auf 10 Stellen hinter dem Komma genau). Er veranschaulichte dies mit dem berühmten Flügelschlag eines Schmetterlings, der einen Orkan auslösen kann. Denn ob es in einem Monat einen Orkan gibt oder nicht hängt von den genauen Werten heute ab. Ein Schmetterling kann vielleicht nur die 10. Nachkommastelle ändern, aber das ist für das Wetter in einem Monat relevant. Dieser Umstand ist zwar verblüffend, kann aber eigentlich nicht erklären, wie die Popularisierung des Themas danach ablief.

Im Zuge der Popularisierung kam ein großes Interesse an solchen chaotischen Systemen auf. Aber es wurden weder die Gleichungen erklärt, noch die dahinter steckende Mathematik, sondern es wurde gefeiert, dass der große Determinismus, das mechanische Joch von Newton und Laplace endlich abgeschüttelt wurde. Es zeigte sich, dass „nichts vorhersagbar“ war, somit (in ganz postmoderner Manier) keine Wahrheit da war, die man vorhersagen konnte. Die große Stärke der Naturwissenschaften, nämlich Vorhersagen zu machen, erschien als uneinlösbares Versprechen, beschränkt auf einzelne Fälle, wie das Pendel einer Uhr oder die Bewegung der Planeten um die Sonne.

Auf den ersten Blick scheint es, als wenn die „Chaosforschung“ ein schlechtes Beispiel sei, um zu belegen, dass mathematische Methodik abgelehnt wird. Immerhin hatten doch plötzlich alle Interesse an dieser spannenden Wissenschaft. Wenn man allerdings etwas unter die Oberfläche und auf die Hintergründe der reißerischen Aussagen des letzten Absatzes schaut, dann wird die Ablehnung der mathematischen Methodik umso klarer. Wie schon erwähnt, arbeitet die Mathematik mit exakten Begriffen. Einer davon ist die Eigenschaft „determiniert“ zu sein. Für den Laien reicht folgende Definition schon völlig aus: Ein Zahlenergebnis y gilt als determiniert, dann und nur dann, wenn es eine Funktion f(x) (sprich: „f von x“) mit der Eigenschaft y=f(x) gibt. Es gibt also eine genaue Vorschrift, die einer Zahl x die Zahl y zuordnet und zwar mit völliger Gewissheit.

So etwas ist für einen postmodernen Menschen völlig unannehmbar. Keine Freiheit, keine eigene Entscheidung und Willkür mehr. Das ist ihm (zumindest wie ich solche Zeitgenossen kennen gelernt habe) völlig zuwider und auch nicht einsehbar, da er so etwas wie eine universelle Wahrheit als Ordnungsprinzip ablehnt [2]. Genau dies scheint im obigen Falle aber vorzuliegen. Es gibt eine Wahrheit, nämlich die Funktion f(x), und wenn man die kennt, dann weiß man, dass mit völliger Sicherheit aus dem Vorliegen von x das von y folgt.

Im letzten Abschnitt sehen wir meine These angedeutet, warum es damals so eine Popularisierung gab: Sie war getrieben vom postmodernen Zeitgeist, der sich freute, dass die Mathematik zeigt, dass selbst bei Kenntnis der allgemeinen Gesetze keine Vorhersage möglich ist. Also verlieren die Gesetze ihre Unausweichlichkeit und die Existenz eines allgemeinen Gesetzes scheint anzweifelbar. Nun kann, postmodern überspitzt formuliert, endlich wieder Jeder Alles aussagen und Jeder und Keiner hat recht. Aber was ist hier wirklich passiert?

Kehren wir zurück zu den exakten Begriffen und machen uns klar, was die obige Eigenschaft „determiniert sein“ NICHT aussagt (auch wenn man dies meinen könnte): Nur weil aus x y folgt, heißt dies nicht, dass aus einer Zahl, die nahe bei x ist auch ein Ergebnis nahe bei y folgt. Machen wir ein Beispiel, damit diese scheinbare Subtilität deutlicher wird. Betrachten wir die Gleichung

xn+1 = 4*xn*(1-xn).

Dies ist die so genannte „logistische Gleichung“. Sie ist iterativ, d.h., man muss sich einen Wert x0 (er muss zwischen 0 und 1 liegen) vorgeben und rechts für xn einsetzen. Dadurch kommt links ein neues Ergebnis x1 heraus, was man im nächsten Schritt wieder links einsetzt und so weiter. Starten wir mit einer Zahl zwischen 0 und 1, z.B. 0,4, so ergibt sich als erster Schritt 4*0,4*(1-0,4)=4*0,4*0,6=0,96. Als zweiter Schritt ergibt sich 4*0,96*(1-0,96)=0,1536 und so fort. Auf diese Weise entsteht eine Zahlenreihe. Diese ist dick (rot) in der folgenden Grafik aufgetragen. Dort sind auch die Zahlenreihen für Startwerte „nahe bei“ 0,4 aufgetragen.

logist.jpg

Man erkennt sofort folgendes: Zu Beginn liegen alle Kurven noch aufeinander (bzw. liegen nahe beieinander, was man beim näheren hinschauen sehen würde), laufen dann aber auseinander. Je nachdem wie nah sie beieinander starten dauert es länger, bis sie auseinander laufen. So liegt die grüne Kurve (die 0,00001 von 0,4 entfernt startet) bis n=15 auf der roten, bevor sie weg läuft, bei der blauen (die 0,0001 von der 0,4 entfernt startet) Kurve beginnt dieses Auseinanderlaufen schon bei n=11 und bei der magentafarbenen Kurve schon bei n=6. Obwohl man alle Zahlenreihen nahe beieinander hat starten lassen, liegen die Endpunkte über das gesamte mögliche Intervall von 0 bis 1 verteilt. Man kann sagen, dass das System vergessen hat, wo es hergekommen ist; es ist chaotisch (aber es folgt deterministischen Gesetzen).

Wir sehen hier, was mit der Überschrift „Wenn das kleine Wörtchen Wenn nicht wäre“ gemeint ist. Die Mathematik sagt lediglich: „Wenn x dann y“. Genau das meint der Mathematiker mit determiniert sein. Um den wesentlichen Punkt hervorzuheben, könnte man auch sagen: „Wenn genau die Zahl x vorliegt, dann folgt genau die Zahl y.“ Aus dieser Wenn-Dann-Aussage lässt sich aber nichts folgern für den Fall, „wenn man in der Nähe von x ist“. Das ist eben nicht mit „determiniert sein“ gemeint. Entsprechend gehen alle postmodernen Freudentänze, dass es nun mit den deterministischen Gesetzen vorbei ist, am wesentlichen Punkt vorbei und zeigen damit viel eher, dass das Interesse an der Mathematik vorgetäuscht war, denn diesen hier gemachten Punkt, was „determiniert sein“ nicht heißt, hätte man auch damals schon populär machen können.

Hier ist einmal am Beispiel durchexerziert wie man mathematisch vorgeht. Man analysiert das System und entdeckt seine unausgesprochenen Zusatzannahmen (hier: Wenn man nahe bei x ist, so bleibt man auch nahe bei y) und macht seine Begriffe exakter. Ein kreativer Akt des Mathematikers liegt darin, die Situation, also den Ausgangspunkt für eine Wenn-Aussage, zu erfassen. Ist dieser Ausgangspunkt korrekt, so liefert die Mathematik korrekte Dann-Folgerungen. Es ist offensichtlich, dass diese Analyse in der Zeit der Popularisierung der Chaosforschung in den Medien nicht passiert ist. Wenn Mathematik und damit auch die mathematischen Methoden zu dieser Zeit aber so populär gewesen wären, dann wäre aber genau dies passiert. Meine angerissene These, diesen Umstand mit dem postmodernen Zeitgeist zu erklären, klingt vielleicht nach Polemik und sie ist, wie eingangs schon erwähnt, auch nur ein Ausgangspunkt für Ihre eigene Überlegungen.

Weitergehende Überlegungen könnten mit der Frage beginnen, ob E. Lorenz wirklich der erste Chaosforscher war bzw. warum die Disziplin der nichtlinearen Systeme erst in den Achtzigern des letzten Jahrhunderts so populär geworden ist. Man entdeckt dabei, dass die Popularisierung fast zwei Jahrzehnte nach der ersten Veröffentlichung von Lorenz startete und dass er nicht der erste war. Schon ein Jahrhundert vorher fand eine große Forschung zu diesem Thema statt, die sich um die Frage kümmerte, ob unser Sonnensystem (also die Bahnen der Planeten) stabil ist, oder ob es sein könnte, dass die Planeten die Bahnen verlassen und zusammenstoßen o.ä.. 1885 beschäftigte diese Frage sogar den schwedischen König Olaf II. so sehr, dass er ein Preisgeld darauf auslobte. Auch damals kam es zu einer größeren Popularisierung dieses Themas, aber es war klar, dass es um Stabilitätsanalysen ging und nicht darum, ob die Physik mit ihrer Vorhersagekraft an sich am Ende ist. Schon damals konnte der berühmte Henri Poincaré [3] zeigen, dass das Sonnensystem nicht stabil ist und kleinste Unterschiede verheerende Wirkungen haben können. So neu waren die Erkenntnisse der „Chaosforschung“ aus den Achtzigern des letzten Jahrhunderts also nicht. Dies alles ist eine sehr interessante Geschichte, die wir dem geneigten Leser gerne für seine eigenen Nachforschungen überlassen.

Man sieht jedoch die These bekräftigt, dass die Popularisierung in den 80ern des letzten Jahrhunderts ein Phänomen des Zeitgeistes war, da Hundert Jahre vorher, zwar ein vergleichbares Ergebnis (kleinste Unterschiede können große Wirkung haben) erzielt wurde und auch populär wurde, aber nicht die gleichen Schlüsse gezogen wurden [4].Entsprechend haben wir mit dem Phänomen der Popularisierung der Chaosforschung ein gutes Beispiel dafür, dass die mathematische Methode abgelehnt wird. Es wäre gewiss spannend diesen Gedanken weiter zu verfolgen, aber wir gehen nun zu dem anderen Teil der Antwort über, nämlich zur These, dass wir Mathematik und ihre Methodik mögen. Dann können wir uns auch der zweiten Frage nachgehen, nämlich ob wir die Methodik verstehen.

Wird fortgesetzt

Zitate und Anmerkungen

[1] E.N. Lorenz, J. Atm. Sci. 20, S. 130-141; 1963

[2] Der postmodernen Grundannahme, dass es keine Wahrheit gibt, kann man natürlich Widersprüchlichkeit unterstellen, da diese Aussage sich selbst ausnimmt. Aber warum sollte dies das einzige Gesetz sein, nämlich dass es keine Gesetze, keine Wahrheit gibt? Ein Einwand, der noch nicht wirklich gelöst wurde.

[3] J.H. Poincare, Acta Math. 13, S. 1-271; 1890

[4] Der interessierte Leser möge sich zusätzlich mit den sog. „Riddled Basins“ beschäftigen. In den ersten Beispielen der nichtlinearen Systeme stellte man nämlich fest, dass eine Erhöhung der Genauigkeit immer zu einer verlängerten Vorhersagezeit führte. Es kamen später Systeme (welche die Riddled Basins besaßen) auf, die diese Eigenschaft nicht erfüllten, wo keine Verbesserung durch erhöhte Genauigkeit erzielt werden konnte. Wieder stimmten Freudentänze an. Aber ein Blick in die Geschichte zeigt, dass H. Poincaré bereits über ein Jahrhundert vorher in klassisch-mechanischen Systemen die sog. „homoklinen Punkte“ entdeckte. Diese führen dazu, dass sich die Trajektorien im Phasenraum homogen durchmischen und letztlich eine Erhöhung der Genauigkeit keine Erhöhung der Vorhersagbarkeit nach sich zieht. Ein Ergebnis, dass Poincaré zutiefst erschrocken hat; ihn aber nicht an der Physik und ihrer Fähigkeit Vorhersagen zu machen zweifeln ließ.

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