Wenn das kleine Wörtchen „Wenn“ nicht wäre – Zum Jahr der Mathematik; Teil III

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fract11.jpgIn den ersten beiden Teilen dieses Aufsatzes zum Jahr der Mathematik beschäftigten wir uns damit, wie Mathematik zu Aussagen, also zu Wissen kommt. Neben dem Bereich des Wissens gibt es aber auch den Bereich des Glaubens und des Transzendenten, in denen die Mathematik durch die Jahrhunderte ebenfalls eine große Rolle spielte. In diesem dritten und letzten Teil wollen wir einen Exkurs in diesen Bereich unternehmen. Wir werden dabei sowohl sowohl den Bereich des religiösen Fundamentalismus berühren, als uns auch mit atheistischen Kritiken an Religion auseinander setzen, sowie Beispiele bringen, die zeigen welche Rolle die Mathematik hier spielen kann.

von Patrick Grete


Glauben, Wissen, Nichtwissen – Mathematik in der Religion

Wir verstehen nun, warum die Naturwissenschaften die Mathematik so sehr schätzen. Der Naturwissenschaftler untersucht Eigenschaften von Systemen quantitativ. Dazu müssen relevante Eigenschaften erkannt und modelliert werden. Gelingt dies, gilt also eine Menge an Voraussetzungen, so führt die Mathematik zu korrekten Schlussfolgerungen. Wir alle nutzen technische Geräte, die es ohne diese Arbeit nicht geben würde. Wie weiter oben schon erwähnt, hat man der Mathematik in der Geschichte aber auch noch mehr zugetraut, etwa bei Pythagoras, der die Zahl zum Ordnungsprinzip der Welt erhob. Kann mathematisches Denken zu einer Metaphysik taugen oder, etwas bescheidener gefragt, ist sie hilfreich für Religion?

Ganz unabhängig von konkreten Rechnungen kann man vom mathematischen Denken behaupten, dass diese Art zu denken und Dinge zu analysieren offensichtlich nicht nur in den Naturwissenschaften wichtig ist. Stupides glauben an Aussagen ohne sie zu hinterfragen entspricht eigentlich nicht unseren geistigen Fähigkeiten.

Mit dem Thema „Glauben“ haben wir ein heute scheinbar wieder relevanteres Thema berührt. Bei Zeiten kann man durchaus den Eindruck bekommen, dass das Glauben an Aussagen von Religionen stärker verbreitet wird, als noch vor einiger Zeit. Wir sind mit radikal- bzw. fundamentalistisch religiösen Ansichten konfrontiert. Als ein deutliches Beispiel könnte man den christlichen Fundamentalismus nennen, der vor allem in den USA, aber zunehmend auch hier in Deutschland versucht seine Ansichten durchzusetzen. Diese Ansichten sind einerseits ethischer Natur. So wird häufig der „Sittenverfall“ beklagt, was an der Promiskuität der Menschen festgemacht wird. Aber es werden andererseits auch naturwissenschaftliche Theorien wie z.B. die Evolutionstheorie bestritten, weil diese Theorie Aussagen bzw., um korrekter zu sein, den Interpretationen von einzelnen Bibelstellen, widersprechen. Vor dem Hintergrund der bisherigen Ausführungen bemerkt man auch hier eine unmathematische Herangehensweise, da Aussagen geglaubt und nicht hinterfragt werden sollen. Ist das das Wesen der Religion? Besteht sie hauptsächlich darin zu glauben, ohne zu hinterfragen?

Dies ist eine sehr komplexe Frage und sie ist eigentlich auch nur mit der Darlegung des geistesgeschichtlichen Hintergrunds des Christentums hier in Europa überhaupt nur sinnvoll zu stellen. Dies kann und soll hier nicht geleistet werden, dennoch möchte ich mich diesem Thema mit einer These zuwenden: Meine These ist, dass diese Form von Glauben (im Sinne eines nicht Wissenkönnens, weil es offenbart wurde) eine sehr oberflächliche Sicht und Beschneidung von dem ist, was Religion sein könnte. Diese dogmatische Sichtweise wird in letzter Zeit auch immer wieder parodiert, etwa in Form verschiedener „Spassreligionen“ wie die des „unsichtbar rosafarbenen Einhorns“ [10], dem „fliegenden Spaghetti-Monster“ [11] oder schon fast klassisch von Russel mit der „Teekanne im All“ [12]. Ohne näher auf die einzelnen Parodien einzugehen kann man feststellen, was ihnen allen gemeinsam ist: Sie alle stellen Behauptungen auf, die uns fremd erscheinen (etwa dass es eine Teekanne im All gibt, die wir mit unseren naturwissenschaftlichen Methoden nicht sehen können). Dann sagen sie jedoch, dass sie als religiöse Gemeinschaft daran glauben wollen, was wir ihnen als freie Gesellschaft mit dem Grundrecht auf Religionsfreiheit nicht verbieten können. Dann kommt ihr entscheidender Schluss: Auch die etablierten Religionen beinhalten genau diese Struktur, nur dass sie schon älter sind und man von Kindesbeinen an an diese Aussagen gewöhnt wurde, die man nun nicht mehr in der Weise kritisch beäugt wie etwa die Aussage von der Existenz einer Teekanne im All. Die Vernunft sagt uns, dass es keine Teekanne im All geben kann, aber auch, dass es für einen Menschen nicht möglich ist über Wasser zu laufen und von den Toten auf zu erstehen. Ohne große Anstrengung kann man hier Parallelen ausmachen. Also noch einmal die Frage von oben: Ist dies das Wesen der Religion an Aussagen zu glauben, die man nicht näher ergründen kann und die damit im Zweifelsfalle gegen jede Vernunft sind? Versuchen wir einen tieferen Einblick zu erlangen.

Relativ häufig wird an dieser Sichtweise von Religionen „der Aristotelismus“ kritisiert, wobei häufig genug nur der Name genannt wird, ohne zu erklären, was damit gemeint sein soll, was wichtig wäre, da auch die Rezeption von Aristoteles eine Geschichte hat. Der Einfluss Aristoteles‘ auf die Wissenschaft in Europa kann eigentlich gar nicht überschätzt werden. Das liegt an seiner Darlegung der analytischen Methode, der „aristotelischen Dialektik“. Im sog. „Organon“, darin die „Topiken“ und darin die „Kategorienschrift“ sowie in den zwei „Analytiken“ legt er da, wie gültige Beschreibungen der Realität aussehen, wie man aus Aussagen Schlüsse bildet und unter welchen Bedingungen diese Schlüsse korrekt sind und welche ungültig sind. Vieles davon hat sich bis heute als brauchbar in den Wissenschaften behauptet. Dabei kam Aristoteles natürlich an dem Kardinalproblem der Wissenschaftstheorie nicht vorbei, nämlich wie man die Wahrheit der ersten Aussagen, heute sagen wir „Axiome“, beweisen kann. Es wäre in diesem Zusammenhang nicht unwichtig sich von diesem Startpunkt aus eigene Kenntnisse zu diesen Werken zu erwerben und Reflexionen anzustellen, um genauer zu verstehen, was problematisch an dieser Methode ist (und was nicht) und um zu verstehen, worin genau der Unterschied zu anderen Methoden liegt. Man verstehe diese kurzen Anrisse hier daher auch als Appetitanreger.

Wenden wir uns der Theologie zu, so können wir feststellen: Diese wissenschaftliche Methode war auch für die Theologie hier in Westeuropa sehr wichtig. Viel wichtiger noch als diese Methodik war für das katholische Christentum aber sein Begriff der Substanz (s. „Über die Seele“ aus den theoretischen Pragmatien Aristoteles), was nach Aristoteles das Seiende an allen Objekten ist, etwas das wirklich getrennt von Anderen ist. Nur was diese Eigenschaft erfüllt (getrennt zu sein), ist einer Wissenschaft zugänglich.

Wir kennen diese Art zu denken; die gesamte Grammatik unserer Sprache ist so aufgebaut: Es sind immer Subjekte die vermittels eines Prädikates auf Objekte wirken. Wir können gar keinen sinnvollen Satz ohne diese Trennung von Subjekt und Objekt aussprechen. Im Zusammenhang mit Religion äußert sich dies darin, dass Theologen etwas, das sie „Gott“ nennen auf diese Weise analysiert haben und ihm Eigenschaften zugesprochen haben, wie „allmächtig“, „allgütig“ usw. Es wurde die aristotelische Methode der Analyse von einem vermeintlichen Subjekt (der Theologe) auf ein vermeintliches Objekt (Gott, Jesus) angewendet, wobei das Objekt als völlig getrennt von Subjekt angesehen wurde (die Substanz des Subjekts wurde zwar in diesem Bild von Gott geschaffen, ist aber ansonsten getrennt von Ihm). Zusätzlich zu dieser von Aristoteles übernommenen Substanzmetaphysik, ist das oben angesprochene Kardinalproblem der aristotelischen Dialektik sehr „günstig“ für die Dogmatik der christlichen Religion, da so die ersten Aussagen als offenbarte Wahrheit gelten können, die in der Bibel stehen und daher auch nicht hinterfragt werden können/sollen.

Die hier umrissene geistesgeschichtliche Linie wirkt sehr deutlich in den fundamentalistischen Kreisen nicht nur in den USA bis heute fort. Aber es ist nicht die einzige Linie. Man kann z.B. die paradigmatische Grundforderung des Aristoteles, nämlich dass nur das dem eigenen Wissen und der Wissenschaft zugänglich ist, was echt getrennt von einem selbst ist, ganz grundsätzlich für den Bereich der Religion (und vielleicht nicht nur für diesen) in Frage stellen. Gemäß der mathematischen Denkart mit dem Nachfragen nicht aufzuhören können wir fragen: Ist es vom ontologischen Standpunkt aus gesehen wirklich korrekt, bei der religiösen Suche davon auszugehen, dass Er „da oben“ echt getrennt vom Suchenden „hier unten“ ist? Ist dieses aristotelische Paradigma nicht eher epistemischer Art, welches uns hilft unser erlangtes Wissen hinterher systematisch aufzuschreiben und darüber sprechen zu können, aber nicht annähernd erfassen kann, was aktual beim Suchenden während seiner Suche passiert?

In diese Richtung geht im christlichen Raum die so genannte „negative Theologie“, welche aus der Grundannahme heraus, dass Gott ontologisch betrachtet nicht ein von uns echt getrenntes Objekt sein kann, den Schluss zieht, dass jede Erkenntnis von Ihm in Form solcher trennender (dualistischer) Subjekt-Objekt-Aussagen nur eine (unendlich) ferne Erkenntnis von Ihm darstellt und die wahre Erkenntnis von Ihm im „nicht-erfassenden“ Begreifen, jenseits aller Begriffe in einer einfachen Schau möglich ist.

Das klingt natürlich sehr mystisch und so liest man z.B. in dem Werk eines solchen Mystikers, Nikolaus v. Kues‘ „Belehrte Unwissenheit“, dass die Gotteserkenntnis von der er dort schreibt und die Beispiele die er dazu gibt

„nur als Anleitungen verstanden seien, deren richtige Anwendung im Übersteigen liegt, dass die Anschaulichkeit hinter sich lässt und den Leser freimacht zum Aufstieg zur einfachen geistigen Schau.“ [Ende Kap. 2 Buch 1]

Kritiker und Satiriker können hier natürlich einwenden, dass die Unsichtbar-Rosafarbenes-Einhorn-Erkenntnis auch nur im „Übersteigen“ aller Begriffe möglich ist; man brauche also nicht darüber nachzudenken, sondern müsse einfach glauben, dass dies so ist. Genauso könnte man auch von einem Betrunkenen sagen, dass er, jetzt wo er zu keiner begrifflichen Erfassung mehr fähig ist, ebenfalls in diesem Jenseitigen der Begriffe ist und daher Gotteserkenntnis hat. Das ist von v. Kues natürlich nicht gemeint, aber es stellt sich die Frage: Wie kommen wir aus diesem Dilemma heraus?

Nach v. Kues hilft einem die Mathematik dabei, da sie solche, nur negativ bestimmte Begriffe, wie z.B. „unendlich“, und den Zusammenfall von dualistischen Gegensätzen beim angedeutetem „Übersteigen der Begriffe“ in Form von dem, was wir heute „Grenzwerte“ und „Konvergenz“ nennen, streng behandeln kann. In diesem Zusammenhang liest man in seiner „Belehrten Unwissenheit“ etwas darüber, dass ein Dreieck bei immer größer werdenden Höhe zu einer Linie wird und dass ein Kreis bei immer größer werdendem Radius zu einer Linie wird. Wie kann man dies aus heutiger Sicht verstehen? Handelt es sich hier lediglich um einen Wahn oder um eine mystische Verzückung oder wird hier auf eine andere Art von ausgeübter Religion hingewiesen? Ich möchte hier im weiteren Verlauf letztere These vertreten und damit andeuten, wie Mathematik eben auch dazu dienen kann, der Fundamentalismus-Falle zu entgehen.

Für v. Kues liegt die Gotteserkenntnis nicht im Nichtanwenden sondern im Übersteigen der begrifflichen Ebene, um zu zeigen, dass in Gott alle Gegensätze zusammenfallen. Positive Prädikate wie „groß“, „mächtig“ oder „gütig“ sind nicht sinnvoll anwendbar, denn z.B. kann ein allgütiger Gott nicht allmächtig sein, da er mit seiner Macht nicht gegen seine Güte handeln könnte. Es wurden in der Geschichte der Theologie viele solcher Widersprüche erzeugt und diskutiert. Eine Reaktion darauf besteht darin zu sagen, dass die Begriffe der Vernunft nicht anwendbar sind und man daher an die Dogmen glauben müsse. Ein Offenbarungseid der Vernunft. Nikolaus von Kues bietet in seiner Belehrten Unwissenheit die Übersteigung der Begriffe an. Wie alle Mystiker möchte er den Leser zur eigenen Transzendenz und nicht eine rein akademische, also den Leser nicht weiter betreffende, Debatte anregen. Man beachte, dass dieses häufig als kalt empfundene „es betrifft mich ja nicht“ an den Wissenschaften Ausdruck der aristotelischen Methodik ist. Nach diesem Denkschema gibt es eben den Wissenschaftler hier und die von ihm untersuchten Dinge dort; beides ist ontologisch getrennt und daher, so das Selbstverständnis dieser Methodik, ist es sinnvoll dualistische Begriffe zu benutzen, um diesen Sachverhalt angemessen darzustellen. Auf die Religion übertragen bedeutet dies, dass es Ihn da oben (also weit weg von uns hier unten) und die offenbarte Schrift gibt, die man aufgrund dieser Anordnung glauben müsse bzw. sollte, wenn man nicht in die Hölle kommen möchte. Bevor wir andeuten, wie man dieser in der Methodik wurzelnden Falle entgehen kann, verfolgen wir noch etwas weiter den Gedankengang Kues‘.

Er weist darauf hin, dass alle Prädikate wie „groß“ oder „mächtig“ einen Bezugspunkt brauchen, denn die Aussage „Dieses Haus ist groß“ macht nur im Bezug auf ein anderes Haus einen Sinn. Was ist aber, wenn es einen solchen Bezugspunkt nicht gibt, wie es beim Größten schlechthin, nämlich Gott, der Fall sein sollte? Hört dann jede Vernunft auf oder kann es Wege zu dieser „einfachen geistigen Schau“, zu einer Gotteserkenntnis geben?

Zuerst macht von Kues klar, dass es ohne einen solchen Bezugspunkt auch keine Unterscheidung von klein und groß gibt. In einem zweiten Schritt versucht er, solche gegensätzlichen Eigenschaften wie z.B. die Eigenschaften gerade (Linie) und krumm (Kreis) in einem Grenzwert unter Zuhilfenahme des Unendlichen zu Einem zusammen zu bringen. Mathematik erscheint ihm als das passendste Werkzeug, um dieses Übersteigen zumindest anzudeuten. Dieser Grenzwert ins Jenseits der Begriffe bedeutet aber gerade nicht das Anheimfallen von Willkür und Beliebigkeit.

Der letzte Satz verlangt geradezu nach einem Beweis, gibt es doch viele Menschen, die dieser Aussage nicht zustimmen würden. Gerade Nachfolger von Wittgenstein („Wovon man nicht Reden kann, darüber soll man schweigen.“ [13]) würden widersprechen, dass dieser Bereich (worüber es zu schweigen gilt) dem Menschen zugänglich ist. Benutzen wir zur Veranschaulichung ein modernes (d.h. ein die heutige mathematische Begrifflichkeit zu Grunde legendes) Beispiel für einen solchen Grenzprozess, wo zwei Gegensätze zusammenfallen.

Betrachten wir dazu eine einfache eindimensionale Funktion

f(x)=1/(1+etx).

Darin ist e die Exponentialfunktion zur Eulerschen Zahl e=2,71…, t ein Parameter und x die Variable. Man muss nur den Parameter t festlegen und schon kann man eine entsprechende Kurve zeichnen. Die zwei Gegensätze sollen hier „glatt“ und „eckig“ sein. Für die Experten: Es geht im die Eigenschaft einer Funktion stetig differenzierbar zu sein oder eben nicht. Diese Eigenschaften schließen einander aus, denn entweder hat eine Kurve Ecken (nicht differenzierbar) oder eben nicht. Betrachten wir für einige Parameterwerte t die entsprechenden Kurven.

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Wir sehen, dass die Funktion überall glatt ist und keine Ecken besitzt. Die Ausnahme besteht in dem Fall wo der Parameter t den Wert unendlich annimmt. Dann macht die Funktion bei x=0 einen Sprung und besitzt damit zwei Ecken. Wir können diesen Fall mathematisch streng behandeln und zwar so:

Wir betrachten das Produkt t*x (sprich „t mal x“) im Exponenten der Exponentialfunktion. Betrachten wir zuerst den Fall x>0. Legen wir nun t auf irgendeinen Wert z.B. 1 fest. Wir erhalten so die grüne Kurve und stellen fest, dass diese Kurve glatt ist und daher auch keine Ecken besitzt. Lassen wir nun t über alle Maßen wachsen (weiterhin für x>0), dann sehen wir, dass auch die Exponentialfunktion über jede endliche Grenze hinaus geht. Mathematisch kann man dies durch Widerspruch beweisen. Man nimmt dazu an, dass es für diesen Fall für die Exponentialfunktion eine endliche Grenze gibt, dass also die Werte dieser Funktion irgendeinen endlichen Wert (den man nicht zu kennen braucht; es reicht seine Existenz) nicht überschreiten. Ohne jetzt in die mathematischen Details zu gehen, ist diese Annahme widerlegbar. Also schließt man, dass die Funktion „nicht endlich“ ist, wofür man den Begriff „unendlich“ benutzt. Dies ist ein „negativer Begriff“, da er nicht positiv, als über etwas, das ist, definiert ist, sondern nur über etwas, was nicht ist [14]. Trotz dieses Grenzüberschritts in einen Bereich, den wir nicht begrifflich auf gewohnte Weise erfassen können, fallen wir nicht der Willkür anheim; unsere Untersuchungen können also weitergehen.

Die Exponentialfunktion im Nenner der Funktion wird also für unendliches t und x>0 unendlich. Wenn wir nun noch die 1 hinzu addieren, ändert sich daran nichts. Aber was ist jetzt „1 geteilt durch unendlich“? Um dies zu untersuchen betrachten wir den Ausdruck y=1/x (sprich „y ist gleich eins geteilt durch x“). Für x=1 erhalten wir y=1, für x=10 erhalten wir y=0,1, für x=100 erhalten wir y=0,01 usw. Der Wert y wird also immer kleiner. Wie groß wir aber auch x machen, y wird nicht negativ. Wir können in einem ersten Schritt also annehmen, dass sich y=0 ergibt, wenn x unendlich wird. Nehmen wir nun an, es gäbe eine Zahl, die echt größer als Null wäre, welche der Ausdruck 1/x nicht unterschreiten könnte. Wir stellen wiederum durch Widerspruch fest, da es eine solche Zahl nicht gibt. Um dies zu sehen (im obigen Beispiel funktioniert dies genauso, nur braucht man dort dafür Logarithmen) lege man eine Grenze fest, von der man meint, dass sie nicht unterschritten wird (z.B. 0,000000001=10-8). Bilden wir nun den Kehrwert dieser Zahl, also 1/10-8=108=100000000. Offensichtlich gibt es eine größere Zahl als diese und der Kehrwert dieser größeren Zahl ist auch echt kleiner als die oben angenommene Grenze. Wir schließen also, dass es eben keine Zahl echt größer als Null gibt, die vom Ausdruck 1/x nicht unterschritten werden kann und weiter, dass für unendliches x der Wert y=0 lautet. Wir können also sagen, dass eins geteilt durch unendlich Null ergibt und zwar obwohl wir „unendlich“ nur negativ verstehen. Dies sind alles strenge Schlussfolgerungen (auch wenn man sie elaborierter aufschreiben kann) zu denen man in der Mathematik fähig ist, auch wenn einige Begriffe mit denen dort umgegangen wird, nur über das definiert sind, was sie nicht sind. Wir haben aber auch gesehen, dass dazu ein Übersteigen des Begriffs „endlich“ nötig ist. Einen Prozess, den wir zwar in eine Formelsprache abbilden können, den wir aber für ein Verstehen dennoch geistig vollziehen müssen. Hier klingt eine Analogie zum Übersteigen der Begriffswelt an, die nicht in die Willkür führt. Wir kommen darauf zurück.

Zusammenfassend können wir also sagen, dass „e hoch unendlich“ unendlich ist, „unendlich plus 1“ ebenfalls unendlich ergibt, jedoch „eins durch unendlich“ Null ergibt. Also wissen wir nun, dass für x>0 und unendliche t die Funktion f(x) konstant den Wert Null annimmt, wie man es auch in der obigen Abbildung sehen kann. Für x<0 können wir die ganze Überlegung wiederholen: Das Produkt t*x ist dann immer negativ und wir können keine negative Zahl angeben, die von diesem Produkt nicht unterschritten wird. Wir sagen, dass t*x für immer größere t „minus unendlich“ wird. Allerdings ergibt „e hoch minus unendlich“ Null. Dies sieht man an e-x=1/ex. Von dem Nenner dieses Ausdrucks wissen wir aber bereits, dass er für unendliche x selbst unendlich wird und dass „eins durch unendlich“ Null ergibt. Zurück zu unserem Beispiel. Null plus eins ergibt eins und eins geteilt durch eins ergibt wiederum eins. Wir sehen also, dass für x<0 und unendliches t die Funktion f(x) den Wert eins annimmt (s. Abbildung).

Wir haben hier an einem modernen Beispiel gesehen, wie Mathematik mit solchen negativen Begriffen streng arbeiten kann und trotzdem zu gültigen Schlüssen kommt. Dadurch sehen wir sogar, dass die beiden Gegensätze glatt (für alle endlichen t) und eckig (für unendliches t) zusammenfallen. Dazu ist ein Übersteigen aller endlichen Werte für t aber eben nicht ein Beiseitelegen der Vernunft nötig. Man kann mit dem Formelapparat der Mathematik diesen Grenzprozess nachvollziehen, aber man täusche sich nicht: Ein wirkliches verstehen gelingt erst, wenn man im Augenblick des Verstehens alle Begriffe hinter sich lässt; diese Begriffe kommen erst hinterher, nachdem man begriffen hat wieder hinzu. In sofern hilft einem die Mathematik per Analogie zu verstehen, was in der Mystik mit „Übersteigen der Begriffe“ gemeint sein kann. Mathematik zeigt dabei in Analogie sehr deutlich, dass man im Übersteigen nicht der Willkür anheim fallen muss. Also muss sich auch der Suchende bei diesem Überstieg nicht plötzlich im Bereich von Teekannen im All und fliegenden Spaghetti-Monstern oder unsichtbar rosafarbenen Einhörnern wähnen.

Kommen wir zurück zu den Beispielen von Kues. Was ist aus heutiger Sicht dazu zu sagen? Nach heutiger Sicht würde man das Beispiel von Kreis und Linie bestätigen, da die Krümmung des Kreises der Kehrwert des Radius ist und diese Krümmung wird Null, wenn der Radius unendlich wird. Das ist dann so wie bei der Linie. Die anderen Beispiele des unendlichen Dreiecks und der unendlichen Kugel stimmen indes aus heutiger Sicht nicht, da diese Objekte immer zwei- bzw. dreidimensional bleiben und daher niemals gleich werden. Anders ist es allerdings, wenn man nur nach der „Mächtigkeit“, nach der Kardinalität, der Mengen fragt. Es ist in der Tat nämlich so, dass die unendliche Linie, die unendliche Fläche und der unendliche Raum (mathematisch der Raum der reellen Zahlen R, der Paare von rellen Zahlen R2 und der Tripel von reellen Zahlen R3 ) alle die gleiche Mächtigkeit haben, nämlich die des Kontinuums. Ein in der Tat verblüffendes Ergebnis der Cantor’schen Mengenlehre und transfiniten Ordnung.

Führen wir nun noch die Gedanken zur Religion etwas weiter. Was bedeutet dies alles für Religionen. Bestimmt nicht, dass eine Religion nun wahr ist (weil „mathematisch bewiesen“) und eine andere nicht. Dies wäre sehr oberflächlich gedacht. Die mathematischen Beispiele sind eher eine Analogie dafür, wie man die dualistische Welt der Subjekt-Objekt-Begriffe in der mystisch-religiösen Erfahrung hinter sich lassen kann und sie zeigen, dass in dieser jenseitigen Welt eben nicht die Willkür (des eigenen Egos) herrscht. Aber was denn dann? Diese Frage ist nur von jedem selbst erfahrbar, alle begrifflichen Beschreibungen führen eher von dieser religiösen Erfahrungssphäre weg, als zu ihr hin.

Es wurde hier behauptet, dass diese Form der Religion [15] die Fundamentalismus-Falle umschiffen helfen kann. Versuchen wir dies näher zu ergründen. Wenn man im Übersteigungsprozess die Welt der Dualitäten und der Begriffe hinter sich lässt, dann relativiert sich das Verständnis von Begriffen wie Mein, Dein, Christ, Moslem, Jude, Buddhist, Hindu, Schwarz, Weiß usw. Vielleicht, wenn wir in diesem Punkt z.B. dem Mystiker, Benediktiner-Mönch und Zen-Meister Willigis Jäger folgen wollen, erkennen wir, dass die organisierte und institutionalisierte Religion nur den Rahmen bildet, diese Erfahrungen ausdrücken zu können. Der organisierte Teil der Religion ist daher von der Wichtigkeit der ursprünglichen Erfahrung nachgeordnet. Man missverstehe „nachgeordnet sein“ nicht als „irrelevant“, denn wie diverse Texte von Mystikern zeigen, kann die Schrift und die verschiedenen Rituale in den unterschiedlichen Religionen auf diese jenseitige Sphäre hinweisen, sie andeuten und den Suchenden zu ihr einladen [16].

Alle Religionen haben diese mystische Tradition. Sei es der Sufismus im Islam, der Zen im Buddhismus, die Mystik im Christentum oder die Kabbala im Judentum. Alle kennen entsprechende Praktiken, um dieses Übersteigen und das Eintreten in den transpersonalen Raum zu vollziehen.

Von Kues schreibt ja selbst, dass sein Text nur „eine Anleitung zum Übersteigen“ sein soll, die der Gläubige „nach langer Meditation“ [Ende des Briefs an Kardinal Julian] erreicht. Eine Technik, die wir heute wohl nur im Buddhismus vermuten würden und sie ist im westlichen Christentum aus der Mode gekommen. Wir kennen sie eventuell noch in der Form des Kontemplierens. Orthodoxe Christen haben sich die Praxis der Theosis erhalten, die darauf abzielt die Einheit mit Gott zu erleben (und damit alle dualistischen Unterscheidungen hinter sich zu lassen). Ähnlich dazu gibt es im tibetischen Buddhismus die „Yidams“, die Meditationsgottheiten, mit denen sich der Meditierende zu vereinigen sucht und Sufis suchen die Übersteigung im Tanz um das eigene Herz. Im Zen werden neben der Meditation die Koane [17] als Hilfsmittel zum Übersteigen benutzt. Auch die älteste monotheistische Religion, das Judentum, hat in der Kabbala ihre mystische Tradition in der mittels geheimer Techniken nicht nur die Tora studiert, sondern auch Gott erfahren werden soll, wobei Letzteres Ziel ist und Ersteres als Mittel zum erreichen dieses Ziels angesehen wird. In dieser Gotteserfahrung, dieser Ekstase, wird ebenfalls die Subjekt-Objekt-Grenze überschritten.

Hier soll nicht einem platten Synkretismus das Wort geredet werden. Dieser würde auf der Ebene der Worte stehen bleiben und hier versuchen einen „Einheitsbrei“ zu erschaffen. Es geht vielmehr darum Gemeinsamkeiten in der Wirkung von erfahrener und aus dieser Erfahrung gelebter Religion (im Gegensatz zum einfachen Glauben an das dogmatischen Lehrgebäude von Religionen) aufzuzeigen, die im Praktizierenden großen Respekt den anderen Traditionen gegenüber und Demut gegenüber der eigenen Tradition entstehen lassen, sowie das Mitgefühl schult. Jeder Suchende bleibt dabei in seiner Tradition verwurzelt; er macht aber Erfahrungen die jenseits des Begriffsgebäudes seiner Tradition liegen. Selbiges „Gebäude“ hat er ja im Übersteigungsprozess hinter sich gelassen; er benutzt es nur hinterher, um über seine Erfahrungen sprechen zu können. Diese Erfahrung kann jedem Fundamentalismus den Boden entziehen und kann aufzeigen was „Religion“ neben dem, was die Spassreligionen parodieren und die Atheisten kritisieren, bedeuten kann, wenn man sie nicht nur auf das Glauben an offenbarten Sätzen eingrenzt, wie es vielfach, gerade in fundamentalistischen und auch nur konservativen Kreisen geschieht. Wir sehen hier ganz deutlich, worin eines der gravierendsten Probleme mit dieser Lesart der aristotelischen Methodik liegt: Sie sieht in der Trennung zwischen Subjekt und Objekt eine ontologische Eigenschaft. Dann ist es immens wichtig, sich buchstabengetreu an diese Trennung, wie sie in der Grammatik unserer Sprache erscheint, zu klammern. Dies macht jedoch einen prinzipiell Dialog unmöglich und führt dazu, dass man mit dem Anderen nur spricht, um ihn von der Richtigkeit der eigenen Ansicht zu überzeugen; Missionierung in ihrer plattesten Form und die Saat für „religiös“ motivierte Auseinandersetzungen.

Wir haben gesehen, dass es religiöse Erfahrungen jenseits dieses Fundamentalismus‘ gibt. Nun gibt es Menschen, die solche mystischen Erfahrungen gemacht haben und solche, auf die dies nicht zutrifft. Da darüber zu sprechen sehr schwierig und die begriffliche Erfassung im eigentlichen Sinne unmöglich ist, muss man sich verschiedener Hilfsmittel bedienen, um dies zumindest anzudeuten. Ein Hilfsmittel, um nicht ganz unpassende Analogien zu schaffen, ist die Mathematik.

Zusammenfassung und Schlussbemerkungen

Wie haben hier einen größeren Streifzug aus Anlass des Jahres der Mathematik 2008 unternommen. Wir ließen uns dabei von der Frage leiten, wozu Mathematik gut und notwendig ist und ferner welche Art von Denken die Grundlage der Mathematik ist. Mathematik ist notwendig, wenn es darum geht, exakt und quantitativ zu sein. Um allerdings exakte und quantitative Aussagen machen zu können, zeigte sich ein weiterer Aspekt mathematischen Denkens: Hinterfragung und Klärung von Grundannahmen und Randbedingungen von Systemen. Hieran zeigte sich ein ganz grundlegendes Charakteristikum der Mathematik, nämlich dass sie eine Wenn-Dann-Struktur besitzt. Ohne die Klärung und Definition dieser „Wenns“ sind keine sinnvollen Dann-Aussagen möglich.

Wir entdeckten dies alles als wir uns einer damit verwandten Frage zuwandten, nämlich ob wir diese Form von Denken, ob wir Mathematik mögen. Diese Fragestellung legte die große Komplexität dieser Frage offen. Die „Chaosforschung“ erschien auf dem ersten Blick ein Beispiel für unsere Leidenschaft für Mathematik zu sein, entpuppte sich aber als das Gegenteil. Zwar mögen wir die „harten Zahlen“ aus der Statistik, hinterfragen aber nicht die Grundannahmen der Modelle, was, wie gezeigt, ganz verschieden Folgen hat.

In einem längerem Exkurs gingen wir der Frage nach, warum Mathematik in der Geschichte häufig auch zur Metaphysik und religiösen Untersuchungen herangezogen wurde. Wir machten als einen Aspekt dieser komplexen Fragestellung die Fähigkeit von Mathematik aus, auch mit negativ bestimmten Begriffen wie „unendlich“, aber auch mit Grenzwertprozessen, bei denen gegensätzliche Prädikate zusammenfallen, umzugehen. Dies führte uns zur Mystik, die einer der Wege zum Dialog der Religionen und Kulturen und einem darauf aufbauendem dauerhaften Frieden darstellen kann.

Als letztes soll noch der politisch relevante Punkt angesprochen werden, wie man Kinder wieder für die Mathematik begeistern kann, damit es wieder mehr Ingenieure und Naturwissenschaftler gibt. Alle solche Bemühungen sind zu begrüßen. Anstatt aber nur zu fragen, wie man Kinder und Jugendliche von der Mathematik begeistern kann, kann man dies auch auch von einer anderen Seite aus betrachten: Wie schafft man es, dass Kinder nicht von einer mathematischen Denkweise abgehalten werden? Wenn eine der Grundlagen der Mathematik das Hinterfragen ist, dann muss man keinem Kind in der „Warum-Phase“ irgendwie zur Mathematik ermutigen; es lebt darin eine Grundform der Mathematik. Wenn man diesen Wissensdrang des Kindes allerdings abwürgt durch Ignoranz oder indem man es vor dem Fernseher oder der Spielekonsole parkt, dann verkümmert diese neugierig-spielerische Erforschung der Umwelt durch das Kind. Wir Menschen sind neurologisch geradezu dazu veranlagt überall Systeme und Zusammenhänge zu finden und zu erforschen. Mathematik ist eine Ausdrucksform, vielleicht die ausgereifteste Form, exakte Begriffssysteme und quantitative Schlussfolgerungen zu erstellen. Man braucht allerdings eine gewisse Konzentrationsspanne, um sich einzufinden. Vielleicht ist letzteres das eigentliche Problem hinter der „Mathematikverdrossenheit“ heutiger Kinder und Jugendlicher; ein Problem, was demnach nicht im Mathematikunterricht gelöst werden kann. Das soll wie gesagt nicht heißen, dass man den Mathematikunterricht nicht spannender und ansprechender machen soll.

Es gibt viele Stellen in unserer Welt, wo man viel über Mathematik lernen kann. Seien es scheinbar triviale Fragen, wie z.B. „Wie schafft es eigentlich ein Taschenrechner den Sinus ohne Geodreieck auszurechnen?“ oder „Wie schafft es eine Spielekonsole Objekte grafisch korrekt darzustellen?“ oder „Wie und warum funktioniert die Routenführung mit einem GPS-Navigationsgerät?“. Aber auch beim Blick unsere Umwelt können wir Mathematik entdecken, etwa beim Blick auf den Saturn und seine Ringe, wenn wir uns fragen, „wieso gibt es in der Ringstruktur eigentlich Lücken?“ oder beim Besuch in einem Garten, wenn wir bei Winkeln zwischen Blättern einer Pflanze den „goldenen Winkel“ und mit ihm die Fibonacci-Zahlen entdecken, die es bei fast allen Pflanzen zu entdecken gibt. Der Neugierige fragt: „Warum ist das so?“ Genau dieses Hinterfragen von den Dingen ist ein wesentlicher Aspekt, um wieder mehr Menschen für Mathematik zu begeistern. Bleiben Sie neugierig und offen für neue Sichtweisen und Ergebnisse; nicht nur im Jahr der Mathematik.

Zitate und Anmerkungen

[10] Wikipedia-Artikel zur Religion des unsichtbar rosafarbenen Einhorns (LINK)

[11] Wikipedia-Artikel zur Religion des fliegenden Spaghettimonsters (LINK)

[12] Wikipedia-Artikel zur russel’schen Teekanne (LINK)

[13] Bekanntes Zitat aus Ludwig J. J. Wittgensteins Tractatus Logico-Philosophicus, 1921

[14] Es sei angemerkt, dass man auch mit aktualunendlichen Zahlen, den sog. „hyperreellen Zahlen“ aus dem Bereich der Nicht-Standard-Analysis rechnen kann. S. dazu das Werk „Foundations of the infinitesimal calculus“ von Jerome Keisler, online zu finden unter (LINK).

[15] Man beachte, dass diese Form von Religion ganz bewusst keine, ebenfalls dualistische, Unterscheidung zwischen a-, mono-, poly- oder pantheistischen Religionen macht.

[16] Im Buddhismus wird häufig die Metapher vom Finger der auf den Mond zeigt für das Verhältnis von strukturierter Teil der Religion und eigene Erfahrung verwendet. Während derjenige, der den Mond noch nicht gesehen hat, den Finger braucht; ist der Finger dem Mond nachgeordnet.

[17] Koane sind meist rätselhafte Fragen oder Geschichten, die der Suchende entschlüsseln soll. Rein begrifflich sind sie widersprüchlich, weshalb der Suchende zur Lösung diese dualistische Ebene in der Meditation übersteigen muss. Ein Beispiel wäre: „Wir kennen den Laut zweier klatschender Hände; wie aber klingt eine klatschende Hand?“

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